ملاحظات علمية حول إلكترونيات الطاقة: تكامل فيرمي-ديراك وتقريب جويس-ديكسون

إن دراسة تكامل Fermi-Dirac لها آثار ملحوظة تتراوح بين تحديد التركيز الإلكتروني في الهياكل المتغايرة AlGaN/GaN إلى حساب كثافة تيار AlGaN/GaN في ترانزستورات الحركة الإلكترونية العالية (HEMTs).

تركيز الكم

في أي شبه موصل (جوهري أو خارجي)، يتم تحديد عدد الإلكترونات في نطاق التوصيل بواسطة:

هنا، ز_ه (ε) هي كثافة الحالات (مع الأخذ في الاعتبار أيضًا درجات حرية الدوران). كما هو موضح في الأعداد السابقة، فإن غاز الإلكترون في أشباه الموصلات لا يتحلل. يُترجم هذا الظرف رياضياً إلى الحد الكلاسيكي المعروف:

وهذا يتيح لنا تقريب التكامل (1)، وبالتالي فإن تركيز الإلكترون هو:

وبأخذ المعادلة (2) نجد أن:

ومن هنا الندرة الشديدة للغاز الإلكتروني في نطاق التوصيل. وهذا ليس مفاجئًا لأنه في الحالة المعاكسة، فإن التأثيرات الكمومية الناتجة عن تراكب وظائف موجة الإلكترون الفردية لم تعد مهملة، مما يؤدي إلى انحراف عن السلوك الكلاسيكي وبالتالي إلى انحطاط الغاز. هذه الحجج تشير إلى الاسم تركيز الكم للعضو الثاني في المعادلة (4). لذا:

نستنتج أن التركيز الإلكتروني في أشباه الموصلات لا يتجاوز التركيز الكمي أبدًا. بتعبير أدق، ل ن (ت) > ن_ج (ت) يفقد غاز الإلكترون خلخلته ويميل أشباه الموصلات إلى التصرف مثل المعدن. وقد استنتجنا كل ذلك من عمليات المحاكاة العددية لتحديد الإمكانات الكيميائية μ (ت).

تكامل فيرمي ديراك (FDI)

لا شيء يمنعنا من التعبير ن(ت) بالضبط كما يلي:

باتباع المنهج القياسي للفيزياء النظرية، قمنا بإزالة أبعاد المشكلة عن طريق المرور من المتغيرات الفيزيائية (ε، μ) إلى المتغيرات بلا أبعاد (ر، س) محددة بواسطة:

بعد حسابات بسيطة ولكنها مملة:

أين:

هل تكامل فيرمي-ديراك من الرتبة ½، أو ببساطة أكثر، تكامل فيرمي-ديراك (الاستثمار الأجنبي المباشر). المعادلة (9) هي
حالة خاصة من:

معروف ب تكامل فيرمي-ديراك o forder l.

ومن المعادلة (8) نرى أن الاستثمار الأجنبي المباشر أقل من عامل الضرب من الدرجة 1.1، تم معايرة تركيز الإلكترون على التركيز الكمي، وعلى هذا النحو فهي دالة عالمية تصف أي شبه موصل نقي، بغض النظر عن قيمة الكتلة الفعالة للإلكترونات. لاحظ أن الاستثمار الأجنبي المباشر يعتمد على درجة الحرارة من خلال المتغير س والتي غالبا ما يشار إليها في الأدب η (الإمكانات الكيميائية الطبيعية على الطاقة الحرارية ك_بت )¹. في الحد الكلاسيكي –س ≪1 يمكننا أن نكتب:

تطبيع التركيز الإلكتروني على التركيز الكمي، أي المرور إلى المتغيرص = ن / ن_ج، لدينا تمثيلين متميزين:

• مجال درجة الحرارة (ت):

• مجال الإمكانات الكيميائية (س):

واستنادا إلى معيار التقارب المعروف، ليس من الصعب إثبات النظرية التالية:

النظرية 1: ل > -1 يتقارب تكامل فيرمي ديراك من الترتيب l.

ل ل < –1. الدالة التي يتم تكاملها، على الرغم من أنها غير قابلة للتلخيص، لا يزال من الممكن دمجها لأنها تحتوي على إشارة ثابتة في مجال التكامل.

وظيفة Lerch المتعالية (LTF)

يمكن اختزال تكامل فيرمي-ديراك إلى:

وبطبيعة الحال، حتى تكامل العضو الثاني لا يمكن التعبير عنه بشكل أولي. ومع ذلك، دعونا ندرس السلوك في أقصى الحدود س . ل ل> 1، التكامل يتقارب بشكل منتظم، حتى نتمكن من المرور إلى النهاية تحت علامة التكامل:

حيث Γ هي دالة غاما الأويلرية². لذلك، لدينا:

ولذلك فإن السلوك المقارب:

هذا هو تعميم الحد الكلاسيكي للمعادلة (11). التمثيل التالي موجود:

حيث Φ هو وظيفة ليرش المتعالية². هذه دالة لمتغير معقد (ث) تعتمد حدوديا على العدد المركب س وعلى العدد الصحيح الموجب أ. بالنسبة لتكامل فيرمي ديراك، لدينا:

الوظائف المذكورة أعلاه موجودة الرياضيات³، وبالتالي التكاملات F_ل (س) يمكن حسابها بسهولة في هذه البيئة، مما يتجنب الحاجة إلى اللجوء إلى الأساليب العددية المعقدة. في الشكل 1 نعرض اتجاهات بعض هذه التكاملات بمقياس لوغاريتمي. تحتوي وظيفة Lerch على معلومات أخرى مثيرة للاهتمام.

المعادلة (19) ل ل = 1/2 يوفر ما يلي:

مع ϕ (س) المرسومة في الشكل 2. لذلك يمكننا أن نكتب:

يشير عدم المساواة الأول إلى أن التركيز الإلكتروني في نطاق التوصيل لأشباه الموصلات (أو المعدن على أية حال) محدود أعلاه بمقدار الإمكانات الكيميائية الأسية س، ولكنها لا تنمو باطراد. يخبرنا المتباين الثاني أنه، على عكس المعادن، في أشباه الموصلات، ينمو التركيز الإلكتروني بشكل كبير مع الإمكانات الكيميائية.

التمييز بين أشباه الموصلات والمعادن. سلسلة جويس-ديكسون

بالنسبة لما ورد أعلاه، يتم إعطاء التعبير الدقيق لتركيز الإلكترون المقيس على التركيز الكمي بواسطة (13) والذي يتم تقريبه في الحد الكلاسيكي بواسطة توزيع بولتزمان ص = ه^س، والتي منها بالمعنى الواضح للتدوين:

في عام 1977 جويس وديكسون⁴ تم تطويره في سلسلة الطاقة من ص، الفرق بين القيمة الدقيقة س والقيمة التقريبية س_بولتز:

المتسلسلة متقاربة بسرعة، لذا عند الحد الأدنى من الترتيب غير الصفر، لدينا:

يمكننا بعد ذلك رسم بياني بمقياس لوغاريتمي (الشكل 3)، وتوزيع بولتزمان والاتجاه الدقيق مقارنة بتقريب جويس-ديكسون إلى الحد الأدنى من الترتيب غير الصفري، بعد قلب (24) من خلال تعميم دالة لامبرت وهي مدمج الرياضيات.

خاتمة

هذا العرض التمهيدي لخصائص تكامل فيرمي-ديراك يفسح المجال لتعميمات مثيرة للاهتمام لدراسة حالات أكثر واقعية، مثل:

• التركيز الإلكتروني في الهياكل المتغايرة AlGaN / GaN⁵.
• محاكاة ميكانيكية الكم لتوزيع الشحنة في دوائر MOSFET السيليكونية⁶.
• كثافة الإلكترون الخطية في أسلاك السيليكون².
• حساب الشحنة الطبيعية لأجهزة CdS التي تهدف إلى تحديد الإمكانات الكيميائية للإلكترونات والثقوب الحرارية⁸.
• حساب الكثافة الحالية لـ AlGaN/GaN في الترانزستورات ذات الحركة الإلكترونية العالية (HEMT)⁹.

مراجع

¹ Kittel C. Kroemer H. Termodinamica statistica.
² Stegun IA، Abramowitz M.، دليل الوظائف الرياضية. مكتب الطباعة الحكومي الأمريكي. 1964
³ Wolfram S. مقدمة أولية للغة Wolfram.
⁴ جويس دبليو بي، ديكسون دي دبليو، التقريبات التحليلية لطاقة فيرمي لغاز فيرمي المثالي. تطبيق. فيز ليت.، 31، 354 (1977)
⁵ M. Miczek وآخرون، “تأثيرات حالات الواجهة ودرجة الحرارة على سلوك السيرة الذاتية للمكثفات المعدنية/العازلة/AlGaN/GaN ذات البنية المتغايرة”، J. Appl. فيز.، المجلد. 103، ص 104510، 2008.
⁶ أبرامو وآخرون، “محاكاة ميكانيكا الكم ثنائية الأبعاد لتوزيع الشحنة في الدوائر المتكاملة منخفضة المقاومة للسيليكون”، IEEE Trans. الأجهزة الإلكترونية، المجلد. 47، ص 1858-1863، 2000.
⁷ E. Ramayya and I. Knezevic، ‘حلال Poisson-Schr¨odinger-Monte Carlo المتسق ذاتيًا: حركة الإلكترون في أسلاك السيليكون النانوية،’ مجلة الإلكترونيات الحاسوبية، المجلد. 9، ص 206-210، 2010.
⁸ J. Lami وC. Hirlimann، “تلألؤ ثنائي الفوتون في درجة حرارة الغرفة لـ CdS في نظام الفيمتو ثانية،” Physical Review B، المجلد. 60، ص 4763، 1999.
⁹ A. Wang, M. Tadjer and F. Calle، “محاكاة الإدارة الحرارية في AlGaN/GaN HEMTs مع موزعات الحرارة الماسية المدمجة،” Semiconductor Science and Technology، المجلد. 28، ص 055010، 2013.
¹⁰ ملاحظات علمية على إلكترونيات الطاقة.

التدوينة ملاحظات علمية حول إلكترونيات الطاقة: تكامل فيرمي-ديراك وتقريب جويس-ديكسون ظهرت للمرة الأولى على أخبار إلكترونيات الطاقة.