ملاحظات علمية عن إلكترونيات الطاقة: الإمكانات الكيميائية والمؤامرات الصعبة

ستان واجون في كتابه¹، يقترح روتينًا في Mathematica² لإزالة خطأ التقريب في رسم الرسم البياني لدالة غير مستقرة عدديًا. عند حل معادلة وظيفية عدديًا لتحديد الإمكانات الكيميائية للإلكترونات في أشباه الموصلات من النوع p، واجهنا تقريبًا أكثر تعقيدًا بكثير.

الحد من درجات الحرارة المنخفضة

لكي نتذكر بسرعة الحجج التي تم تقديمها في العدد السابق، دعونا نعيد كتابة المعادلة الوظيفية للهشاشة ض(ت):

حيث I = عدد الإلكترونات في نطاق التوصيل، II = عدد الإلكترونات في مستويات الطاقة في فجوة النطاق المتمركزة في –ε_أ، III = عدد الثقوب في نطاق التكافؤ. ثم قمنا بتعريف الكميات بدون أبعاد:

في نطاق درجات الحرارة المنخفضة، فإن المصطلح I لا يكاد يذكر. جسديا يعني ذلك ل ت ≪ 300 كلفن الهشاشة ض(ت) يقترب من الصفر. ويترتب على ذلك أنه في حدود درجة الحرارة المنخفضة تتصرف حلول المعادلة (1) مثل تلك الموجودة في المعادلة:

والتي هي تربيعية في ض(ت). بمجرد إجراء الحسابات (التخلص من الجذر السالب كما يجب أن يكونض(ت) > 0):

يتم إعطاء الإمكانات الكيميائية بواسطة:

لتحديد الحد الأقصى ل ت → 0، نستغل الطرح التالي (الذي نترك الدليل عليه للقارئ):

الاقتراح 1

أين:

تتضمن المعادلة (6) ما يلي:

وهو مستوى فيرمي. يحتوي الرقم (6) على تفسير مادي ملحوظ نظرًا لأن قيمته مستقلة عن المعلمة الإيجابية ẫ، وبالتالي من العدد الإجمالي ن_أ⁽⁰⁾ من الشوائب الثلاثية. ونحن نرى ذلك، لأي ن_أ⁽⁰⁾ > 0، يتم وضع مستوى فيرمي في منتصف المسافة بين الجزء العلوي من نطاق التكافؤ والمستوى –ε_أ
تم إنشاؤها بواسطة ن_أ⁽⁰⁾. في الشكل 1 نبلغ عن اتجاه الوظيفة (5) المخصصة ن_أ⁽⁰⁾، والتي نرى منها أن الإمكانات الكيميائية تبلغ تقريبًا μ0 (المعادلة (8)) لـ 0

الاقتراح 2

دليل. وقد ثبت بطريقة مماثلة للاقتراح 1. باستخدام أ الرياضيات-نوع بيئة الحوسبة، وتبين أن ل ت → 0 الهشاشة ض(ت) هو أمر متناهية الصغر من أمر كبير لا نهائي، في أعقاب النتيجة الطبيعية المبينة في العدد السابق.

درجة الحرارة العامة

هنا المعادلة (1) وهي من الدرجة الثالثة بشكل واضح ض(ت)، يجب حلها. من خلال كتابة روتين مناسب في الرياضيات بيئة الحساب، نجد ل ن_أ⁽⁰⁾ = 10² سم^-3 الاتجاه الرسومي في الشكل 2، حيث توجد مشكلة تقريب واضحة. ومن خلال تضييق النطاق الحراري ومقارنته بالمحلول (5) الموجود في حد درجة الحرارة المنخفضة، نحصل على الرسم البياني في الشكل 3. تتيح لك تعليمات MaxRecursion تقليل عدد التذبذبات، كما هو موضح في الشكل 4.

من التحليل الرسومي الذي تم إجراؤه نستنتج ذلك بالنسبة لـ الرياضيات النواة، فإن الإمكانات الكيميائية تميل إلى الصفر حيث أن درجة حرارة التوازن الديناميكي الحراري تميل إلى الصفر. ولكن بقدر ما
لقد رأينا أن هذا خطأ، أيضًا لأن هذا يحدث فقط في حالة وجود فجوة الحزمة ε_ز هو صفر. خلاف ذلك، يتم وضع الإمكانات الكيميائية في منتصف الطريق بين –ε_ز و –ε_أ. ما هو مضلل ل الرياضيات هي حقيقة أنه في الحد ل ت → 0، الزوال ض(ت) هو أمر متناهية الصغر من أمر كبير بلا حدود. ببساطة، في الحي الصحيح ت = 0، تقوم Mathematica بحساب قيم صغيرة جدًا لهذه الكمية وهذا يولد اتجاهًا غير منتظم كما هو موضح في الشكل 5.

خاتمة

أجرينا التحليل الرياضي³ الذي ذهبنا فيه من درجة الحرارة ت إلى الطاقة الحرارية س = ك_بتي، أو ما هو نفسه، إلى درجة الحرارة المعبر عنها بوحدات الطاقة (eV). فيما يلي استنتاجاتنا:

• يتم إنشاء التقريب بواسطة ن_أ ⁽⁰⁾ > 0. تافهة، ل ن ⁽⁰⁾ = 0، نقع في الحالة الجوهرية التي يتم فيها حساب μ (ت) على الفور. وإلا فإن المنشطات (ن_أ⁽⁰⁾ > 0) يلغي إمكانية حل المعادلة الوظيفية (1) في الصورة المغلقة. بهذه الطريقة، الحل العددي لا يمكن التعبير عنه بشكل أولي.
• الاستبدال ت → س = ك_بت يضغط حجم المتغير المستقل، ويخفف التذبذبات. ومع ذلك، لا يزال kernel يُرجع النتيجة غير الصحيحة μ (0) = 0، كما هو مبين في الشكل (6).

كرسم بياني نهائي، نعرض في الشكل 7 اتجاهات الإمكانات الكيميائية في الحالات الثلاث: 1) المنشطات بشوائب ثلاثية (ص-يكتب)؛ 2) المنشطات مع الشوائب الخماسية (ن-يكتب)؛ 3) أشباه الموصلات النقية.

مراجع

¹ عربة S. Mathematica في العمل. سبرينغر.
² عربة S. المؤامرات الصعبة.
³ كولوزو م.، حالة غير نمطية من التقريب في الرياضيات.
⁴ ولفرام س. مقدمة ابتدائية للغة Wolfram.
⁵ Kittel C. Kroemer H. Termodinamica statistica.
⁶ ملاحظات علمية على إلكترونيات الطاقة.

التدوينة ملاحظات علمية عن إلكترونيات الطاقة: الإمكانات الكيميائية والمؤامرات الصعبة ظهرت للمرة الأولى على أخبار إلكترونيات الطاقة.