ملاحظات علمية عن إلكترونيات الطاقة: أشباه الموصلات – نموذج لعبة فيزياء الكم

في هذا البرنامج التعليمي، سوف ندرس نموذجًا بلوريًا أحادي البعد قادرًا على تمييز سلوك العوازل عن سلوك المعادن وأشباه الموصلات. وفي الحالة الأخيرة، تحدث التوصيلية الكهربائية من خلال عملية النفق وليس عن طريق كسر الروابط التساهمية.

مقدمة

في دراسة تقريب بورن أوبنهايمر، رأينا أنه في أي مادة صلبة (عازل، موصل، أشباه الموصلات) يمكن فصل حركة الإلكترونات عن حركة النواة (أو الأيونات الموجبة). في خطوة التقريب الأولى، نعتبر النوى ثابتة بشكل صارم في مواقع الشبكة الخاصة بها.

الدورية والتماثل

في البلورة المثالية، يتم توزيع النوى بشكل دوري على بنية شبكية ثلاثية الأبعاد والتي في الحالة أحادية البعد يتم تخصيصها على خط مستقيم. الحالة الأخيرة، على الرغم من عدم التزامها بالواقع المادي، تشكل أداة تحقيق ممتازة لسببين: 1) الشكلية الرياضية أبسط؛ و 2) التعميم على الحالة ثلاثية الأبعاد يكون فوريًا.

يحدد التوزيع الدوري للشحنة الموجبة للنواة الطاقة الكامنة التي تمثلها وظيفة دورية V (س) من الفترة أ، والأخيرة هي الملعب شعرية. في فيزياء الحالة الصلبة، الفاصل الدوري العام [na, (n + 1) a] أين ن هو عدد صحيح نسبي، ويسمى أ خلية.

الدورية ليست أكثر من “التماثل الترجمي”. وكما هو معروف فإن مفهوم التناظر في الفيزياء أساسي ليس فقط لأنه يترجم إلى حفظ الكميات الفيزيائية المرتبطة بالتناظر المعين، ولكن أيضا لأنه يسهل البحث عن حلول المعادلات التفاضلية التي تحكم العملية الفيزيائية قيد الدراسة . وفي ميكانيكا الكم، يلعب التناظر دورًا أكثر وضوحًا. على سبيل المثال، كما رأينا في العدد السابق، في حالة الشبكة، فإن التناظر الانتقالي يعطي نظرية بلوخ والتي بموجبها يتم تعديل “الموجات الإلكترونية” من حيث السعة ويكون غلاف التعديل دوريًا للشبكة. ونعني هنا بـ “الموجات الإلكترونية” الوظائف الذاتية للطاقة، أي وظائف موجة الإلكترون الواحدة المقابلة لطاقة معينة.

العوازل

يوضح الشكل 1 الرسم البياني للطاقة الكامنة التي تميل إلى +∞ بالتوافق مع مواقع الشبكة س=غير متوفر حيث توجد النواة. وفقا للميكانيكا الكلاسيكية، يقتصر الإلكترون الوحيد على خلية معينة [na, (n + 1) a] لأنه لا يملك طاقة كافية للتغلب على حاجز الإمكانات العالي اللامتناهي. من الناحية الكمية، لدينا سلوك مماثل لأن موجة الاحتمال يفشل المرتبط بالإلكترون في عبور حاجز الجهد بسبب قيمته اللانهائية. فهي تعطينا معلومات محلية، أي معلومات تتعلق بخلية معينة، ومن السهل أن نقنع أنفسنا بأنها موجة واقفة. من نظرية انتشار الموجة، نعلم أن الترددات المعنية محددة كميًا، وكذلك مستويات الطاقة للإلكترون المفرد.

في الشكل 2، نبلغ عن اتجاه الدالة الموجية المقابلة للمستوى الثاني المثار للإلكترون المحصور في الخلية [0, a] في حالة خاصة من الإمكانات V (س) تعطى من خلال سلسلة من وظائف دلتا ديراك (الشكل 3). يعد اختيار هذه الإمكانات المعينة بدلاً من تلك الموجودة في الشكل 1 أمرًا ضروريًا لتكون قادرًا على حل المعادلة التفاضلية ذات القيمة الذاتية المقابلة في شكل مغلق (معادلة شرودنجر المستقلة عن الزمن). في المقابل، معادلة القيمة الذاتية لإمكانات الشكل 1 لا يمكن دمجها إلا عدديا.

نستنتج أن إمكانات الشكل 1 تمثل عازلًا أحادي البعد نظرًا لأن الإلكترونات مرتبطة بقوة بنواتها، ولا حتى الطاقة اللانهائية قادرة على كسر مثل هذه الروابط.

المعادن

يمكن محاكاة سلوك المعدن أحادي البعد عن طريق “خفض” حاجز الجهد الموضح في الشكل 1. ومع ذلك، لحل معادلة القيمة الذاتية في شكل مغلق، فمن الأفضل الرجوع إلى إمكانات الشكل 3. للقيام بذلك، نحدد الإمكانات على النحو التالي:

الرقم الحقيقي ب هي معلمة بأبعاد الطول، والتي تتحكم في ارتفاع الحاجز: الحد الأقصى لـ ب → 0 يستنسخ اتجاه الشكل 3. لذلك بافتراض القيم المحدودة لـ b، فإنه يعادل خفض الحاجز المحتمل من +∞ إلى دبليو₀/2ب. يمثل الشكل 4 مؤامرة الإمكانات.

الرسم البياني ل V_ب (س) في الخلية [0, a] يظهر في الشكل 5. الإمكانية (1) هي البديل للنموذج الذي اقترحه L. Kronig وWG Penney¹ للحصول على الخصائص الأساسية للتوصيل المعدني: قيم الطاقة ه > دبليو₀/2ب تتوافق مع حالات الانتشار، والتي تنتشر فيها موجة بلوخ من −∞ إلى +∞ مما يؤدي إلى إعادة إنتاج السلوك النموذجي للإلكترونات في المعدن.

التقريب المحكم – حالة أشباه الموصلات والمعادن الانتقالية

يحاكي الجهد (1) أيضًا سلوك أشباه الموصلات والمعادن الانتقالية. ولهذا الغرض، يكفي افتراض قيمة المعلمة ب أقل من تلك المستخدمة للمعادن. وهذا يعادل “رفع” الحاجز المحتمل، وبالتالي عدد أكبر من حالات الطاقة المقيدة 0 < ه < ث₀/2ب تم تأسيسها.

ومع ذلك، فإن الحاجز ليس مرتفعًا إلى ما لا نهاية، لذلك نتوقع حدوث عملية نفق بين الخلية المخصصة [na, (n + 1) a] والجيران. من حيث المبدأ، يمكن أيضًا إنشاء هذه العملية بين الخلايا غير المتجاورة. ومع ذلك، في ما يسمى ملزمة بإحكام في النموذج، تُفترض قيمة b مثل إنشاء عملية نفق بين الخلايا المجاورة فقط. بدلاً من حل معادلة شرودنغر للجهد Vb(x)، يفضل العمل على عناصر المصفوفة الهاملتونية، كما اقترح [2]، الحصول على التعبير التالي لطاقة إلكترون واحد:

يظهر الرسم البياني المقابل في الشكل 6. في المعادلة (2) تلعب الكمية k دور “التسمية” لوظائف موجة بلوخ ولها أبعاد عدد من الموجات. الكمية ∆ > 0 لها أبعاد الطاقة وتقيس الانحراف عن سلوك العازل (حاجز الجهد العالي بشكل لا نهائي). الطاقة ه_ص0 هي إحدى القيم الذاتية للحالات المرتبطة (∆ = 0). ص₀ رقم الكم المقابل (ص₀ = 0, 1, 2،…).

نلاحظ أن الدالة E (k) دورية بالدورة 2Π/ألذا فمن الأفضل أن نقتصر على أنفسنا
إلى الفاصل الزمني (-Π/أ، Π/أ) والتي تُعرف في فيزياء الحالة الصلبة باسم منطقة Brillouin الأولى (أو ببساطة منطقة Brillouin).

الحد ∆ → 0 يستنسخ ب → 0 حاجز إمكانات عالية بلا حدود. وفي التقريب الملزم، ه(ك) لا يعتمد على شكل V (س)، ولكن فقط على ∆. لذلك نرى ذلك بالنسبة لـ ∆ > 0 تشكل المستويات المسموح بها النطاق المستمر [E_r0 − 2∆, E_r0 + 2∆]. لذلك، لدينا عدد لا نهائي من حالات الإلكترون الفردية، يتم تحديد كل منها بواسطة ك والذي يصبح بالتالي “رقمًا كميًا جيدًا”. يتم سكان هذه الحالات حسب إحصائيات فيرمي-ديراك التي، كما هو معروف، تستنسخ التوزيع الديناميكي الحراري للمستويات المشغولة وفق مبدأ استبعاد باولي، والذي بموجبه تكون كل ولاية ك يمكن أن يشغلها على الأكثر إلكترونين لهما دوران مضاد للتوازي.

خاتمة

إن دراسة البلورات أحادية البعد مثيرة للاهتمام ليس فقط لفهم السلوك الكمي لحاملات الشحنة ولكن أيضًا للتوسعات المحتملة للبلورات “شبه الدورية”، والتي يؤدي كسر التماثل عن طريق الترجمة إلى إرجاع خصائص جديدة مثل، على سبيل المثال، ما يسمى العوازل الطوبولوجية.

مراجع

¹ https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.74.3503.
² ساكوراي جي جي, ميكانيكا الكم الحديثة.
³ ر. فيشي، ر. دي رينزي: هيكل المواد. لا نوفا إيطاليا ساينتيكا، روما، 1995.
⁴ ملاحظات علمية على إلكترونيات الطاقة.

The post ملاحظات علمية عن إلكترونيات الطاقة: أشباه الموصلات – نموذج لعبة فيزياء الكم ظهرت للمرة الأولى على Power Electronics News.