ملاحظات علمية حول إلكترونيات الطاقة: حزمة برامج أشباه الموصلات

في العدد السابق، قمنا بإعادة بناء تطعيم عينة السيليكون في البرنامج عن طريق إضافة ذرات الفوسفور. في هذا البرنامج التعليمي، سوف ندرس خوارزمية يمكن تنفيذها على نظام CAS (نظام الجبر الحاسوبي) في Mathematica¹/ ماكسيما / نوع القيقب. بالمقارنة مع برامج المحاكاة التقليدية، فإن نهجنا يترك للمستخدم إمكانية تطوير النموذج الرياضي المناسب.

الهشاشة

الإمكانات الكيميائية μ (ت) (المعروف بشكل غير صحيح باسم مستوى فيرمي) هي “البطاقة الجامحة” التي تسمح لنا بتحديد تركيزات الإلكترونات والثقوب في أي شبه موصل (مخدر أو نقي). ولهذا الغرض من المناسب إعادة صياغة النتائج الرئيسية المتعلقة بغاز فيرمي بدلالة كمية جديدة تسمى الزوال.

في الديناميكا الحرارية²تعد الإمكانات الكيميائية متغيرًا مكثفًا يميز حالات التوازن للأنظمة ذات العدد المتغير من الجزيئات. في الميكانيكا الإحصائية الكمومية، تلعب هذه الكمية دورًا حاسمًا في وظائف توزيع البوزونات والفرميونات. على وجه الخصوص، تم وصف الأخير من خلال وظيفة التوزيع Fermi-Dirac التي سبق ذكرها في الدروس السابقة:

حيث يمكن أن تختلف الإمكانات الكيميائية من −∞ إلى +∞.

في العدد السابق قمنا بتعريف الزوال من غاز الجسيمات الموصوف في (1) من خلال
كمية بلا أبعاد:

الحجة الأسية التي تحدد ض(ت) هي الإمكانات الكيميائية الطبيعية للطاقة الحرارية ك_بت. تترجم قيم الذبول العالية إلى قيم عالية للموضوع المذكور وبالتالي للإمكانات الكيميائية. على المدى الزوال مشتق من حقيقة أن الجسيمات تميل إلى الهجرة من المناطق ذات الإمكانات الكيميائية الأعلى إلى المناطق ذات الإمكانات الأقل. ولذلك، عند قيم عالية من ض(ت) من المتوقع حدوث هجرة ملحوظة للجسيمات.

يمكننا التعبير عن المعادلة (1) بدلالة ض (ت):

لذلك، لدينا:

هذا هو توزيع بولتزمان (الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية). في الواقع، في العدد السابق، كنا قد حددنا ض(ت) كمعلمة انحطاط (أ(ت))): للقيم غير المهملة لـ ض(ت)، هناك “انحطاط” يُفهم على أنه انحراف عن السلوك الكلاسيكي. وهذا أمر معقول لأنه كما ذكر أعلاه، قيمة عالية ل ض(ت) يتوافق مع هجرة ملحوظة للجزيئات التي تميل إلى التكاثف في المناطق التي ض(ت) يأخذ قيمًا أقل. ولكن هذا يعادل زيادة تركيز الجزيئات، وبالتالي زيادة درجة حرارة فيرمي ت_F واحتمالية الانحطاط (بالنسبة لدرجات الحرارة ت ≪ ت_F) كما هو محدد في العمل السابق.

منذ μ (ت) هي كمية فيزيائية، نتوقع استمرارية هذه الوظيفة في[0[0, +∞) مع المشتقة الأولى. فيما يلي النظرية التي يكون إثباتها فوريًا:

النظرية 1:

نلاحظ أن هذه القضية μ₀ > 0 هو غاز فيرمي الذي، كما هو معروف، يتحلل تمامًا عند درجة الحرارة ت = 0. بالمناسبة، الزوال ل ت = 0 لا نهاية لها. وهذا يؤيد الحجة السابقة حول معنى الزوال من حيث صلته بالانحراف عن السلوك الكلاسيكي. رياضيا، نرى ذلك على خلاف ذلك μ (ت) الوظيفة ض(ت) يمكن أن يكون لها تفرد لـ ت → 0.

وعلى نفس القدر من الأهمية هو توضيح النتيجة الطبيعية التالية:

النتيجة الطبيعية 2: إذا μ (0) < 0، الهشاشة لـ T → 0⁺، هو متناهية الصغر من أمر كبير بلا حدود. لو μ (0) > 0، الهشاشة لـ T → 0⁺، هو ما لا نهاية من أمر كبير لا نهاية له. ينطبق الجزء الأول من النتيجة الطبيعية (2) على حالة أشباه الموصلات، حيث أن μ (0) < 0. بالنسبة للمعادن شبه مثل الجرافين، هو μ (0) = 0 لأن فجوة النطاق صفر. لذلك، من خلال نظرية 1 ل ت → 0 الهشاشة غير محددة.

الشكل 1 يلخص الحالات المحتملة.

تنفيذ الخوارزمية

في الدروس السابقة أشرنا مع ن_ه (ت)، ن_ح (ت) إجمالي عدد الإلكترونات في نطاق التوصيل، وإجمالي عدد الثقوب في نطاق التكافؤ. نظرًا لأن تجربتنا الحسابية تشير إلى عينة من السيليكون بحجم وحدة (1 سم³)، الكميات المتوقعة هي كثافات عدد الإلكترونات/الثقوب، والتي تسمى ببساطة التركيزات. مع ملاحظة أن هذه الكميات يشار إليها عادةً بـ ن، ص، لدينا:

قبل تطوير الخوارزمية، تجدر الإشارة إلى أن الصيغ المكتوبة للتو تسبب مشاكل ت = 0. في القسم السابق، رأينا ذلك ل ت → 0⁺ الزوال ض (ت) هو أمر متناهية الصغر من أمر كبير بلا حدود. ويترتب على ذلك أن تنفيذ هذه النهاية في الثانية من المعادلة (6) يعيد الصيغة غير المحددة 0 · ∞، والتي تترجم في برنامج الحساب الرقمي إلى خطأ. لذلك، نحن بحاجة إلى تحديد نطاق درجة الحرارة بحيث تكون درجة الحرارة الأولية قريبة من الصفر ولكن ليس الصفر تمامًا.

التركيزات ن(ت)، و ص(ت) ترتبط بمعادلة وظيفية تضمن الحياد الكهربائي لأشباه الموصلات (في حالة عدم وجود مجال كهربائي خارجي). وبالنظر إلى التطعيم بشوائب خماسية/رباعية التكافؤ تصبح المعادلة المذكورة:

حيث تشير العلامة (+) إلى المنخفض د (الشوائب الخماسية التكافؤ)، وهي حالة تم فحصها بالفعل في البرنامج التعليمي السابق؛ تشير العلامة (-) إلى الحرف المنخفض أ (الشوائب الثلاثية) والتي سندرسها في عدد قادم. (7) هي معادلة في الدالة المجهولة ض(ت) والتي، عند حلها، تسمح لنا بحساب التركيزات ن(ت)، ص(ت ) ، وبالتالي التوصيل الكهربائي:

حيث قمنا بتوضيح الاعتماد على درجة الحرارة لمختلف الكميات باستثناء الحركات μ_ه، μ_ح من الإلكترونات والثقوب (في موضوع لاحق سندرس هاتين الكميتين الأخيرتين واعتمادهما على درجة الحرارة بالتفصيل). يظهر مخطط الحساب في الشكل 2.

المشكلة التي ابتليت بها المناقشات حول هذا الموضوع هي وحدات القياس. في الوحدات، يتم قياس الحركة بالسنتيمتر² الخامس^-1 س^-1; للسيليكون، μ_ه = 1600 سم² الخامس^-1 س^-1، μ_ح = 400 سم² الخامس^-1 س^-1. القيمة المطلقة لشحنة الإلكترون هي ه = 1.60217733×10^-19 ج.

سيتم بعد ذلك ترجمة مخطط الحساب 2 إلى الصيغة المناسبة لـ CAS المستخدمة. على سبيل المثال، باستخدام الرياضيات، يمكننا الحصول على النتائج التالية:

• الموصلية الكهربائية في الحالة الجوهرية بمقياس لوغاريتمي وكدالة لـ 1/ت (الشكل 3)
• الإمكانات الكيميائية والزوال كدالة لدرجة الحرارة في الحالة الخارجية (اختصار الثاني ⁽⁰⁾ = 1 ذرات فوسفور) (الشكل 4)
• الموصلية في الحالة الخارجية في مقياس لوغاريتمي وكدالة لـ 1/ت (الشكل 5). في نطاق درجات الحرارة المنخفضة (ت ^–1 ≫ 1)، الموصلية الخارجية هي المهيمنة. في نطاق درجات الحرارة المرتفعة (ت ^–1 ≪ 1)، الموصلية الجوهرية هي المهيمنة. يتم تمثيل الانتقال بالركبة. جسديا هناك ما يسمى إنهاك: جميع الذرات المانحة متأينة.

يوضح الشكل 6 والشكل 7 نفس النتائج اختصار الثاني ⁽⁰⁾ = 100 ذرة فوسفور. أخيرًا، في الرسم البياني الموضح في الشكل 8، نبلغ عن اتجاه الموصلية عند درجة حرارة الغرفة (ت = 300 K) كدالة لعدد ذرات الفوسفور.

مراجع

¹ ولفرام س. مقدمة أولية للغة Wolfram.
² Kittel C. Kroemer H. Termodinamica statistica.
³ دافيدوف إيه إس، تيوريا ديل سوليدو. إديتوري ريونيتي.
⁴ ملاحظات علمية على إلكترونيات الطاقة.

التدوينة ملاحظات علمية حول إلكترونيات الطاقة: حزمة برامج أشباه الموصلات ظهرت للمرة الأولى على أخبار إلكترونيات الطاقة.