ملاحظات علمية حول إلكترونيات الطاقة: “رقصة” الدوران الإلكتروني في أشباه الموصلات من النوع p

نكمل التحليل الذي بدأه في البرنامج التعليمي السابق الذي يحاكي باستخدام Mathematica¹ تطعيم عينة السيليكون بذرات الألومنيوم (Al). ونظرا لحجم العمل سوف نقوم بتقسيم المقال إلى قسمين. هنا، سوف ندرس الدور الذي يلعبه الدوران الإلكتروني في التنشيط بالشوائب الثلاثية التكافؤ.

دوران القميص ومبدأ استبعاد باولي

ومن خلال مجموعة من الأسئلة والأجوبة نتعمق في آلية التطعيم بالشوائب الثلاثية مثل الألومنيوم. يوضح الشكل 1 هذه العملية من خلال التذكير بأن كمية معينة من الطاقة (ذات الأصل الحراري) مطلوبة لكسر الرابطة التساهمية. دون فقدان العمومية، دعونا نشير إلى عينة Si لوحدة الحجم.

سؤال: لماذا يقوم الإلكترون الناتج من الرابطة التساهمية المكسورة “بملء” فراغ الشوائب بدلاً من المرور إلى نطاق التوصيل (كما يحدث في حالة عدم وجود شوائب)؟

إجابة: لكل شوائب ثلاثية التكافؤ، يوجد إلكترون غير متزاوج لإحدى ذرات Si المجاورة، وبالتالي فإن الإلكترون القادم من الرابطة التساهمية المكسورة يميل إلى إكمال الحالة الكمومية المغزلية مع الإلكترون (الشكل 1)، تاركًا وراءه فجوة والتي في يمكن ملؤها بإلكترون قادم من رابطة تساهمية مكسورة أخرى. أصبح تكرار هذه العملية ممكنًا عن طريق إضافة عدد مجهري من الشوائب. والنتيجة هي تكوين عدد مجهري متساوٍ من الثقوب، وبالتالي فإن المساهمة المهيمنة في الموصلية بعد تطبيق مجال كهربائي تأتي من الثقوب (ص– نوع أشباه الموصلات).

الشوائب الثلاثية المفردة التي تكتسب إلكترونًا تصبح بعد ذلك أيونًا سالبًا كما هو موضح في الشكل 2. بالمقارنة مع الإلكترونات الثلاثة المتبقية، يكون الإلكترون الزائد أقل ارتباطًا بالأيون، لذا فهو يحتل مستوى طاقة أعلى قليلاً من قمة نطاق التكافؤ. إن وجود عدد مجهري من الشوائب ثلاثية التكافؤ يولد طيفًا كثيفًا للغاية يتمركز في –ε_أ = –ε_ز + ∆، أين ε_ز > 0 هو فجوة النطاق بينما 0 < ∆ ≪ ε_ز. وفقًا لمبدأ استبعاد باولي، فإن كل مستوى يشغله على الأكثر إلكترونين لهما دوران مضاد للتوازي.

معادلة وظيفية للإمكانات الكيميائية

لنأخذ التدوين في الأرقام السابقة: ن_ه (ت) و ن_ح (ت) هي على التوالي عدد الإلكترونات في نطاق التوصيل وعدد الثقوب في نطاق التكافؤ عندما يكون شبه الموصل في حالة توازن ديناميكي حراري عند درجة الحرارة ت. إجمالي الشحنة الكهربائية س(ت) يتم التعبير عنها كمجموع الشحنة السالبة والشحنة الموجبة:

كالعادة إذا ه هي القيمة المطلقة لشحنة الإلكترون، لدينا:

أين ن_أ (ت) هو عدد المستقبلات المؤينة سلبا. بالتعويض عن (2) في (1) نحصل على:

الرسم البياني التالي الذي يلخص الحالات المحتملة مفيد:

كما رأينا في البرنامج التعليمي السابق، في جميع الحالات الثلاث الكميات ن_ه (ت)، ن_ح(ت) يتم تقديمها بواسطة:

كما هو موضح أعلاه، فإن التنشيط بشوائب ثلاثية التكافؤ يولد طيفًا كثيفًا للغاية يتمركز في –ε_أ كما هو مبين في الشكل 3. تسمح لنا كثافة الطيف العالية بتطبيق تقريب الطيف المستمر:

بعد (4)، نورد في الشكل 4 الحالات المحتملة، حيث يشير المستطيل الأحمر إلى تقريب الطيف المستمر.

وبعد تحديد ذلك، فإن إجمالي عدد الثقوب الناتجة عن مرور الإلكترونات إلى المستويات (6)، يساوي إجمالي عدد الشوائب الثلاثية التكافؤ. فليكن هذا الرقم ن_أ⁽⁰⁾. عند درجة حرارة ت > 0، يتم إعطاء عدد الذرات المستقبلة المتأينة بواسطة:

أين نا (تي) هو عدد الذرات المستقبلة التي لم تتأين بعد. على افتراض أن ن_أ⁽⁰⁾ ومن المعروف أننا بحاجة إلى تحديد ن_أ(ت). قبل إجراء هذه العملية الحسابية، دعونا نفحص المحتوى الفيزيائي للمعادلة (3) والتي يمكننا إعادة كتابتها على النحو التالي:

عند درجة حرارة الصفر المطلق تكون الطاقة الحرارية صفر: الروابط التساهمية لا تنكسر، ويتم اختزال المعادلة (8) إلى الهوية 0 = 0 باعتبار أن الكميات الفردية صفر. عن طريق زيادة درجة الحرارة، تبدأ الروابط التساهمية في الانهيار، ولكن كما رأينا سابقًا، فإن الإلكترونات المحررة، بدلاً من الانتقال إلى نطاق التوصيل، تملأ مستويات المستقبلات (حوالي –ε_أ). لا يمكن لمثل هذه العملية أن تستمر إلى أجل غير مسمى بسبب مبدأ استبعاد باولي (كل مستوى يتم ملؤه على الأكثر بواسطة إلكترونين لهما دورانات عكسية). ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لدرجة الحرارة التي تكون فيها جميع المستويات المستقبلة مشغولة، فإن الإلكترونات المقابلة المحررة من الروابط التساهمية ستضطر إلى احتلال مستويات الطاقة في نطاق التوصيل الذي، كما نعلم، يشكل طيفًا مستمرًا. أن تكون أكثر كمية، لدرجة الحرارة ت > 0 ولكن ليس عاليًا جدًا، تصبح المعادلة (8):

لأن الطاقة الحرارية كافية لدفع الإلكترونات إلى مستويات حول –ε_أ. لذلك، بالنسبة لهذا النطاق من درجات الحرارة، ن_ه (ت) = 0. عند زيادة مناسبة في درجة الحرارة، تكون الإلكترونات الموجودة في –ε_أ يمكن أن تمر إلى نطاق التوصيل ويتم تنظيم هذه العملية بواسطة المعادلة الكاملة (8). مثل ت يزيد إلى أجل غير مسمى:

نظرًا لأنه بالنسبة لدرجات الحرارة المرتفعة بدرجة كافية، تكون جميع مستويات المستقبل مشغولة، ويتم تنشيط الموصلية الجوهرية. دعونا ننتقل الآن إلى حساب ن_أ (ت) وبالتالي من ن_أ (ت) (المعادلة (7)). تتيح لنا دالة التوزيع Fermi-Dirac تحديد احتمالية تأين شوائب واحدة:

والتي يمكننا تقريبها على النحو التالي:

اذا لدينا:

الكمية التي كنا نبحث عنها هي المعادلة (7)، والتي تصبح الآن بالنسبة للمعادلة (13):

بالتعويض عن الكميات المختلفة في المعادلة (8) نحصل على:

يمكن جعل هذه المعادلة المتعالية في μ (T) جبرية بالتبديل إلى الهشاشة z (T) = exp (μ(T) / kBT):

أين:

الخلاصة (ميكانيكا الكم هي السحر)

نختتم هذا التحليل الجزئي، مهما كان غنيًا بالمحتوى المادي، من خلال تسليط الضوء على الدور الذي يلعبه تكوين حالات الدوران المفرد التي تعكس مبدأ استبعاد باولي. ولذلك، فنحن أمام تأثيرات كمومية نموذجية، والتي تفلت من إدراكنا المبني أساسًا على الميكانيكا الكلاسيكية.

مراجع

¹ ولفرام س. مقدمة ابتدائية للغة Wolfram.
² دافيدوف إيه إس، تيوريا ديل سوليدو. إديتوري ريونيتي.
³ Kittel C. Kroemer H. Termodinamica statistica.
⁴ ملاحظات علمية على إلكترونيات الطاقة.

التدوينة ملاحظات علمية حول إلكترونيات الطاقة: “رقصة” الدوران الإلكتروني في أشباه الموصلات من النوع p ظهرت للمرة الأولى على Power Electronics News.