ملاحظات علمية عن إلكترونيات الطاقة: من أشباه الموصلات إلى المعدن

[ad_1]

الرياضيات¹ بيئة الحوسبة، بالإضافة إلى السماح بتنفيذ تجارب افتراضية على منشطات أشباه الموصلات عن طريق إضافة ذرات منشطة عبر البرمجيات، تطبق معيارًا حسابيًا لتمييز سلوك أشباه الموصلات عن سلوك المعدن.

أشباه الموصلات من النوع N

وللتيسير، نورد المعادلات الموجودة في العدد السابق والمتعلقة بعدد الإلكترونات ن_ه (ت) في نطاق التوصيل في أشباه الموصلات الجوهرية، والعدد النسبي للثقوب ن_ح (ت) في التكافؤ الفرقة التوصيل. ومع المعنى الواضح للرموز، لدينا:

ومنه، بفرض شرط الحياد الكهربائي، يتم الحصول على الإمكانات الكيميائية:

مع إضافة الشوائب الخماسية التكافؤ، يصبح تكوين الشحنة الكهربائية الإجمالية أكثر تعقيدًا، نظرًا لأنه الآن لا تساهم الإلكترونات القادمة من الروابط التساهمية المكسورة فقط في تكوينها. ن_ه(ت) ، ولكن أيضًا الإلكترونات موزعة في مستويات الطاقة للمانحين، وبالتالي مع الطاقة –ε_د < 0 (الشكل 1).

بعبارة أخرى، ن_ه (ت) هو مجموع مساهمتين: الأولى تساوي ن_ح (ت)، أي عدد الثقوب المنطلقة (كل ثقب يقابل إلكترونًا). وفي المقابل فإن الثاني يتطابق مع الرقم ن_د (ت) من الذرات المانحة المتأينة إيجابيا. يمكننا أن نكتب:

هنا، س_– (ت) و س₊ (ت) هي، على التوالي، إجمالي الشحنة السالبة وإجمالي الشحنة الموجبة عند درجة الحرارة ت ، أين ه هي القيمة المطلقة لشحنة الإلكترون. وبما أن شحنة أشباه الموصلات الكلية صفر، فإن الكميات المذكورة أعلاه يجب أن تكون متساوية:

ن_ه (ت)، و ن_ح (ت) معروفة بالفعل من المعادلة (1). لتحديد ن_د (ت) ، نلاحظ ذلك أولاً ن_د (0) = 0 حيث أن تأين الجهات المانحة يحدث على حساب الطاقة الحرارية. إن العدد الإجمالي للإلكترونات “المتاحة”، أي تلك التي يمكنها المرور من الذرات المانحة إلى مستويات الطاقة في نطاق التوصيل، يساوي العدد الإجمالي لهذه الشوائب لأن كل شوائب تجعل إلكترونًا واحدًا فقط متاحًا. فليكن هذا الرقم ن ⁽⁰⁾. عند درجة حرارة ت > 0، يتأين عدد معين من الذرات المانحة ونشير إليها بـ ن_د(ت) عدد الذرات التي لم تتأين بعد. لكن ن_د(ت) هو أيضًا عدد الإلكترونات التي لا تزال مرتبطة بالمانحين الأفراد. مع الأخذ في الاعتبار وظيفة توزيع فيرمي-ديراك F_ه (ε)، لدينا:

أين μ^′ (ت) هي الإمكانات الكيميائية للإلكترونات الزائدة (كل منها ينتمي إلى ذرة مانحة واحدة). في التوازن المنتشر هو μ^′ (ت) = μ (ت)، أي الإمكانات الكيميائية للإلكترونات في نطاق التوصيل القادمة من الروابط التساهمية المكسورة. لذلك يمكننا أن نكتب:

ويترتب على ذلك أن عدد الذرات المانحة المتأينة بشكل إيجابي أو ما يعادلها، عدد الإلكترونات من الذرات المانحة التي تمر إلى نطاق التوصيل، يتم الحصول عليها من خلال:

بالتعويض من (1) إلى (7) في (4) نحصل على:

وهي معادلة وظيفية في المجهول μ (ت). لاحظ أن ل ن ⁽⁰⁾ = 0، نحصل على الحالة الجوهرية التي يتم فيها حل هذه المعادلة تحليليا (المعادلة (2)). ومن ناحية أخرى فإن وجود الحد الثالث على العضو الثاني من (8) يهدم إمكانية الحل تحليليا؛ ولذلك يجب علينا اللجوء إلى الأساليب العددية. قبل كتابة روتين في الرياضيات البيئة، دعونا نحاول فهم المعنى المادي ل(8). في العدد السابق، قمنا بتعريف معلمة الانحطاط على النحو التالي:

إنه يقيس انحراف سلوك غاز فيرمي عن إحصائيات بولتزمان. وفي (9) قمنا بإعادة تعريف هذه الكمية في المتغير ض(ت)، معروف ك الزوال. يصبح (8) :

والتي يجب حلها عدديا فيما يتعلق ض(ت) ثم تحديد الإمكانات الكيميائيةμ (ت ) = ك_بت ln ض (ت ). إذا كانت درجة حرارة أشباه الموصلات ليست عالية جدا، لدينا:

الحد الأول على العضو الثاني من (10) مهمل مقارنة بالثاني. من الناحية الفيزيائية، فهذا يعني أنه في نطاق درجة الحرارة المحدد بواسطة (11)، تكون عملية التأين المانحة فقط هي النشطة في أشباه الموصلات. مع ارتفاع درجة الحرارة، يتم تنشيط العملية التي تشهد كسر روابط التكافؤ مع ما يترتب على ذلك من انتقالات للإلكترونات نحو نطاق التوصيل. رياضياً، يُترجم هذا إلى حقيقة أن الحد الأول في العضو الثاني من (10) لم يعد مهملاً.

تؤدي الزيادات الحرارية الإضافية إلى ما يسمى بالإرهاق المطابق لتأين جميع الجهات المانحة. بالنسبة لدرجات الحرارة المرتفعة، يكون الحد الأول هو السائد، أي أن التحولات من نطاق التكافؤ إلى نطاق التوصيل هي العملية السائدة وسوف يتصرف شبه الموصل بشكل مشابه لأشباه الموصلات غير المشابهة.

في المدى الحراري المحدد بـ (11)، مع إهمال الحد الأول في الطرف الأيمن، يتم حل المعادلة تحليليا²:

وبدلاً من ذلك، يجب علينا حل (10) عدديًا فيما يتعلق بـ ض(ت) لقيم معينة من ت. لهذا الغرض، دعونا نشير إلى 1 سم³ من السيليكون التي في المعاملات ج_ه (ت)، ج_ح (ت) من (١) المجلد الخامس وحدوي. بالإضافة إلى، ز_س = 2 (درجات الحرية المرتبطة بالدوران للإلكترونات والثقوب). أما بالنسبة للكميات الأخرى، فإننا نورد هذه البيانات³ للسيليكون المخدر بالفوسفور:

أين م_ه هي كتلة الإلكترون.

ال الرياضيات تتيح لنا بيئة الحوسبة إمكانية حل الافتراض (10) عدديًا ن ⁽⁰⁾ كمعلمة مجانية. على سبيل المثال، يمكننا إضافة ذرة فوسفور واحدة فقط، للحصول على الاتجاه في الشكل 2 حيث نقارن الحل العددي مع الحل التحليلي الصالح لدرجات الحرارة غير المرتفعة جدًا (المعادلة 12). نموذجنا، على الرغم من الإشارة إلى درجات الحرارة الباهظة تقنيًا، إلا أنه مفيد لأنه يجعلنا نفهم أنه عند إضافة ذرة فوسفور واحدة، فإن الإمكانات الكيميائية تفترض قيمة -0.02 فولت ل ت = 10 K أي قريب من نطاق التوصيل وبالتالي أكبر بكثير من القيمة في حالة عدم وجود شوائب تساوي −0.6 فولت، أي عند نصف فجوة النطاق.

يتوافق هذا السلوك مع تعريف الإمكانات الكيميائية التي بموجبها هذه الكمية هي الزيادة في الطاقة بعد إضافة جسيم في النظام الديناميكي الحراري قيد الدراسة. مع زيادة درجة الحرارة، تتأين ذرة الفوسفور بشكل إيجابي ويدخل الإلكترون في نطاق التوصيل. تتناقص الإمكانات الكيميائية حتى تصل إلى الحد الأدنى ثم تزيد بشكل رتيب. ومع ذلك، يحافظ الرسم البياني للمحلول التحليلي على الرتابة المتناقصة (المنحنى المتقطع) لأن التقريب الذي سمح بالحصول عليه لم يعد صالحًا في هذا النطاق الحراري. لاحظ أن الإمكانات الكيميائية بشكل مقارب لا تستقر عند منتصف فجوة النطاق لأن الإلكترونات والثقوب لها كتل فعالة مختلفة (انظر المعادلة 2). وبالمناسبة، إذا افترضنا في معادلاتنا أن الكتل الفعالة المذكورة أعلاه متطابقة، فسنحصل على الرسم البياني في الشكل 3 الذي نرى منه أن الإمكانات الكيميائية تستقر بشكل مقارب عند منتصف فجوة النطاق. وفي كلتا الحالتين، يؤكد هذا السلوك التقاربي ما ذكر سابقًا، وهو أنه في درجات الحرارة المرتفعة جدًا، تكون عملية انتقال الإلكترونات من نطاق التكافؤ إلى نطاق التوصيل هي السائدة.

بإضافة ن ⁰ = 3 ذرات فسفور، نحصل على الاتجاه في الشكل 4، حيث نرى ذلك ابتداءً من ت = 10 K تتزايد الإمكانات الكيميائية بشكل رتيب حتى الحد الأقصى النسبي لـ ت_الأعلى = 79.94 K حيث تأخذ القيمة −0.02 فولت، ثم ينخفض ​​مرة أخرى مع اتجاه مماثل لذلك ن ⁽⁰⁾ = 1.

مع ارتفاع درجة الحرارة تصل إلى النقطة القصوى النسبية ت_الأعلى التحولات في اتجاه الإحداثيات المتزايدة ، أي ت_الأعلى هي دالة متزايدة بشكل رتيب لعدد ذرات المنشطات ن ⁽⁰⁾. قيمة الحد الأقصى μ_الأعلى = μ (ت_الأعلى) تبين أيضًا أنها وظيفة متزايدة بشكل رتيب لـ ن ⁽⁰⁾، لذلك ستكون هناك درجة حرارة ت ^∗الحد الأقصى من هذا القبيل μ^∗الحد الأقصى = μ (ت ^∗الأعلى) > 0. فيزيائيا، الجهد الكيميائي الإيجابي هو ما يميز غاز الإلكترون للمعدن. نستنتج أنه في نطاق درجة حرارة معين، يتصرف شبه الموصل المخدر مثل المعدن.

عدديا، نرى ذلك ل ن ⁽⁰⁾ = 36 لدينا ت ^∗الحد الأقصى = 331.172 ألف مع μ^∗الحد الأقصى = 10^-4 فولت (قيمة صغيرة جدًا ولكنها لا تزال إيجابية)؛ وهذا يعني وجود زوج من الأصفار للدالة μ (ت): ت₁ = 303.614 ك، ت₂ = 359.356 ك.

عن طريق رفع مستوى المنشطات إلى ن ⁽⁰⁾ = 3 · 10² نحصل على الاتجاه في الشكل 4، والذي نحدد منه عدديا:

خاتمة

النموذج الحسابي المقدم في هذه القضية هو نموذج إرشادي وعلى هذا النحو ليس قريبًا جدًا من الواقع التجريبي. لقد رأينا أنه حتى مع وجود تركيزات منخفضة من الشوائب، يحدث سلوك من النوع المعدني. ومع ذلك، فهو مهم من الناحية النوعية لأنه يجعلنا نفهم أنه ليس من المفيد من الناحية التكنولوجية إضافة تركيز عالٍ من الشوائب.

مراجع

¹ ولفرام س. مقدمة ابتدائية للغة Wolfram.
² دافيدوف إيه إس، تيوريا ديل سوليدو. إديتوري ريونيتي.
³ ر. فيشي، ر. دي رينزي: هيكل المواد. لا نوفا إيطاليا ساينتيكا، روما، 1995.
⁴ Kittel C. Kroemer H. Termodinamica statistica.
⁵ ملاحظات علمية على إلكترونيات الطاقة.

التدوينة ملاحظات علمية عن إلكترونيات الطاقة: من أشباه الموصلات إلى المعدن ظهرت للمرة الأولى على أخبار إلكترونيات الطاقة.

[ad_2]